DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO//DERIVATIVE OF A FUNCTION AT A POINT

Los fines de este post son educativos y tiene por objetivo construir la definición de Derivada de una Función en un punto a través de su interpretación geométrica.

_{Purpose of this post is educational and aims to construct the definition of the Derivative of a Function at a point through its geometric interpretation.}

Introduciremos el tema haciendo uso del gráfico de la siguiente función f.

_{Will introduce the topic by making use of the graph of the following function f.}

Observe que la gráfica de la función f se encuentra interceptada por la recta L en dos puntos, estos puntos son: P y Q.

_{Note that the graph of the function f is intercepted by the line L at two points, these points are: P and Q.}

Al unir esos puntos se describe una recta que hemos llamado L, esta recta es la secante al gráfico de f (es secante porque toca al gráfico en más de un punto, si la tocase solo en un punto se llamaría tangente).

_{Joining these points describes a line that we have called L, this line is the secant to the graph of f (it is secant because it touches the graph at more than one point, if it touched it only at one point it would be called tangent).}

Ahora vamos a hallar la pendiente de la recta L, la cual vamos a llamar:

_{we are going to find the slope of the line L, which we are going to call:}

m_sec

PENDIENTE DE LA RECTA SECANTE L:

_{OF THE SECANT LINE}

Supongamos que movemos el punto Q hacia P de tal forma que la distancia entre P y Q se haga tan pequeña que tienda a ser 0.

_{Suppose move point Q towards P in such a way that the distance between P and Q becomes so small that it tends to be 0.}

Esto es: Q→P

_{This is: Q→P}

El movimiento del punto Q hacia P, implica dos cosas muy importantes:

The movement of point Q towards P implies two very important things:

La primera es que x se hace muy próximo a x+h (x→ x+h), por lo cual h→0

 The first is that x becomes very close to x+h (x→ x+h), so h→0

Y la segunda, es que también se genera un movimiento de la recta L. La posición de L varia, tendiendo a tocar al gráfico de la función f en:

_{And the second is that it also generates a movement of the line L. The position of L varies, tending to touch the graph of the function f at:}

¿Cuántos Puntos?

How many points?

Lógicamente, es un solo punto.

Logically, it is a single point.

Dicha posición tiende a convertirla en una recta: _____

This position tends to make it a straight line: _________________

Obviamente, en este proceso la recta secante L tiende a la RECTA TANGENTE.

Obviously, in this process the secant line L tends to the TANGENT RIGHT.

¿Cuál será la pendiente de esta recta?

What will be the slope of this line?

La pendiente de la recta tangente al gráfico de f en un punto x la vamos a llamar:

_{The slope of the tangent line tangent to the graph of f at a point x we shall call it:}

m_tan

Y va a ser igual al siguiente límite:

And it will be equal to the next limit:

La pendiente de la recta tangente al gráfico de una función f en un punto x, recibe el nombre de Función Derivada de la función f en dicho punto.

_{The slope of the tangent line to the graph of a function f at a point x is called the derivative function of the function f at that point.}

La derivada de la función f, en un punto x, se expresa:

The derivative of the function f, at a point x, is expressed:

En consecuencia:

 Accordingly:

La siguiente implicación resulta de la igualdad anterior:

The following implication follows from the above equality:

Lo cual permitirá obtener la derivada de una función en un punto dado, cualquiera sea la función.

_{This will allow the derivative of a function to be obtained at a given point, whatever the function.}

A continuación, un ejemplo:

Here is an example:

Hallar la función derivada de f(x)=x²-3x+1

 Find the derivative function of f(x)=x²-3x+1

Vamos a desarrollar la derivada de esta función, usando la definición de derivada.

_{Let's develop the derivative of this function, using the definition of derivative.}

Créditos

El texto es totalmente original de la autora. Las imágenes fueron elaboradas con la ayuda de Pawer Point. Las ecuaciones fueron elaboradas con el editor para matemáticas de Word.

Credits

The text is entirely original by the author. The images were created with the help of Pawer Point. The equations were created using Word's mathematical editor.