Estudio general de la función lineal o funciona afín.

Dentro de la familia de las funciones polinómicas nos encontramos con algunos casos especiales que son muy utilizados en las ciencias económicas; tales funciones son: las lineales y las cuadráticas.

En este post vamos a tratar específicamente las funciones lineales.

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Una función lineal es una función definida a través de un polinomio de grado 1; es decir, un modelo de la forma mx+b.

Esto es:

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f(x)=mx+b

En la función lineal f(x)=mx+b, los valores de m y b tienen un significado muy especial que luego vamos a explicar, por ahora solo nos interesa identificarlos en los ejemplos siguientes:

Veamos, sí:

f(x)= 3x+1 entonces m=3 y b=1 g(x)= x+4 entonces m=1 y b=4 h(x)=-x+2 entonces m=-1 y b=2 f(x)=x entonces m=1 y b=0 f (x)=4 aquí se observa que m no existe y b=4 g(x)=6-5x se identifica m=-5 y b=6 t(x)=2x se identifica que m=2 y b=0

Si consideramos el ejemplo siguiente: https://images.hive.blog/DQmRbm6cZDXKbGieY6tDmwLCogeLXA4ANokC54bKpa28yFj/image.png, observamos que el modelo que define a la función f no es un modelo lineal, es un modelo cuadrático, en tal sentido no está dentro de la categoría que estamos estudiando, por ahora!.

Bien, centrémonos en las funciones lineales del ejemplo anterior para a estudiar el significado de m y b, para ello vamos a graficar cualquiera de ellas, por ejemplo:

g(x)=x+4

Para ello, vamos a elaborar una tabla de valores donde le vamos a dar valores arbitrarios a la variable independiente x.

Luego nos vamos al plano cartesiano, ubicamos los puntos (x, y) que nos da la tabla y luego los unimos.

La unión de estos puntos nos debe resultar una línea recta, ya que estos puntos son colineales, es decir, están ubicados en la misma línea debido a que satisfacen la misma ecuación.

Note que la recta intercepta el eje y en y=4, que es el valor de b.

En la gráfica y en la tabla se puede verificar que a medida que crece la abscisa x consecuentemente la ordenada y también crece.

En este caso, diremos que la recta que describe nuestra función es creciente.

Vamos con otro ejemplo

Grafiquemos la función h(x)=-x+2

Procedemos como en la gráfica anterior.

Usaremos una tabla de valores semejante a la anterior, lo único que va a cambiar son los valores de y.

He aquí la gráfica

Observe en esta gráfica que cuando la abscisa crece entonces la ordenada y decrece.

En este caso decimos que la recta es decreciente.

Vemos que en la primera gráfica m=1 (m es positiva) y nuestra recta, en este caso, es creciente.

En la segunda gráfica m=-1 y la recta es decreciente.

Lo cual muestra una vinculación entre el signo de m y el crecimiento o decrecimiento de la gráfica de una función lineal.

En tal sentido decimos que si m es positiva entonces la recta es creciente; y si m es negativa, entonces la recta es decreciente.

Pues bien, m se refiere a la medida de inclinación de la recta con respecto al eje de las x. Este valor se consigue a través de una fórmula.

Fórmula de la pendiente de una recta.

La fórmula de la pendiente de una recta se puede calcular conociendo dos puntos por donde ella pasa.

La pendiente m se define como la razón de cambio de la ordenada con respecto a la abscisa. Esto se interpreta como un cociente cuyo numerador denota el cambio en la ordenada y el denominador denota el cambio en la abscisa. Esto es:

Hagamos un cambio de notación usando la letra griega delta así:

De tal forma que tenemos otra fórmula para la pendiente de una recta que pasa por dos puntos conocidos, y es la siguiente:

Ejemplo: Calcular la pendiente de una recta que pasa por los puntos: (3,-5) y (-1, 8)

Solución:

Generalicemos:

Cuando la recta es creciente significa que si x₂> x₁ (la abscisa crece) entonces y₂>y₁ ( la ordenada también crece). De tal forma que: y₂-y₁>0 y x₂ -x₁>0, consecuentemente m>0 (la pendiente es positiva).

Cuando la recta es decreciente significa que x₂>x₁ (la abscisa crece) entonces y₂>y₁ ( la ordenada decrece). De tal forma que: x₂-x₁>0 y y₂-y₁<0, consecuentemente m<0 (la pendiente es negativa).

Pendiente de las rectas verticales.

Una recta vertical es paralela al eje de las ordenadas, por lo tanto, cualquier par de puntos que tomemos en su trayectoria tendrán la misma abscisa (x₂ = x₁) y diferente ordenada (y₂≠ y₁), por lo tanto, la razón de cambio o pendiente de esa recta no existe, consecuentemente las rectas verticales no tienen pendiente.

Veamos un ejemplo

Calculemos la pendiente de la recta vertical L que pasa por los puntos indicados en la gráfica anterior.

Este resultado no es matemáticamente definido, la división por 0 no está definida, por ello la pendiente de una recta vertical no existe.

Nos queda el problema de cómo definir la ecuación de una recta vertical.

Bien, la ecuación de una recta vertical está definida por el valor x=a por donde la recta vertical L intercepta al eje de las abscisas.

En nuestro ejemplo anterior la ecuación de esta recta es x=2

Pendiente de las rectas horizontales.

Una recta horizontal es paralela al eje de las abscisas, por lo tanto, cualquier par de puntos que tomemos en su trayectoria tendrán diferentes abscisas (x1 ≠x2) pero iguales ordenadas (y1=y2), por lo tanto, la razón de cambio o pendiente de esa recta existe y es 0.

Consideremos este ejemplo donde L pasa por los puntos: (-3, 2) y (1, 2).

Calculemos la pendiente de la recta L.

En este caso, la pendiente de la recta horizontal es o. Es decir que se encuentra en equilibrio.

La ecuación de la recta horizontal viene definida por el valor b (intersección de la recta con el eje de las y).

De tal forma que la ecuación de la recta de nuestro ejemplo es: y=f(x)=2.

Generalicemos:

1.-Las rectas que poseen pendiente positiva o negativa la vamos a llamar rectas oblicuas y están definidas mediante la ecuación y=mx+b. Esta ecuación recibe el nombre de Ecuación Pendiente Intersección.

En esta ecuación, m es la pendiente de la recta y b es la intersección de la recta con el eje de las ordenadas u ordenada en el origen.

2.- Las rectas verticales no poseen pendiente y su ecuación es x=a.

3.- Las rectas horizontales poseen pendiente 0 y su ecuación es y=b.

Veamos un ejemplo adicional.

El siguiente ejemplo muestra como trazar la gráfica de una recta L (oblicua) identificando solamente sus puntos de intersección con los ejes coordenados.

Veamos.

Trazar la gráfica de la función f(x)=3x+1

Solución:

Para la gráfica vamos a elaborar una tabla de valores en la cual vamos a considerar la interseccion de la recta con los ejes coordenados.

Intersección de la recta con el eje y

Para ello hacemos x=0, así: Si x=0 entonces y=f(0)=3.0+1=0+1=1

Intersección con el eje x. Para ellos hacemos y=0, de esta forma: Recuerde por la notación funcional que y=f(x), entonces sí y=0 eso quiere decir que f(x)=0

De esta forma 3x+1=0 Luego 3x=-1 Y así: x= -1/3

Es decir: x= -0.3333….

He aquí la tabla.

Al tener los puntos, vamos al plano real los ubicamos y los unimos a través de una línea que representa la gráfica de nuestra recta.

Ejercicios recomendados.

1.-Dadas las siguientes funciones, identifique la pendiente y la ordenada en el origen, trace el gráfico.

f(x)= 3x-7 g(x)= -5x+1 h(x)=-x-3 f(x)=4x f (x)=4 g(x)=6-5x t(x)=2x

2.-Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos:

3.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por cada par de puntos dados en el ejercicio 2.

Créditos:

Este post es original de la autora. Las gráficas se hicieron con la ayuda de Geogebra. Se usó PowerPoint para el diseño de las imágenes, y las ecuaciones con el editor de ecuaciones.