Cordiales saludos mis Hive-Lectores, comunidad @stem-espanol y comunidad de Hive en general. Mis amigos Hive-Lectores, como ya he estado diciendo en mis posts anteriores, además de hacer llegar un poco de ciencia a la comunidad de Hive en general espero, con el presente contenido, seguir contribuyendo con la formación de aquellos estudiantes que por el COVID-19 deben seguir sus estudios en casa.
Después de haber indagado un poco en el campo de la Termodinámica en mis recientes posts anteriores, me adentro esta vez en el fascinante campo de la Mecánica Clásica Newtoniana. En la presente oportunidad les comparto el post que he titulado: **MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE, UNA PRESENTACION DIDACTICA - Parte 1**.
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Mis estimados Hive-Lectores, como la gran mayoría de Ustedes lo sabe, la teoría relacionada con el Movimiento Armónico Simple (al cual me referiré como **MAS** de aquí en adelante) y su relación con el Movimiento Circular Uniforme (al cual me referiré como **MCU** de aquí en adelante) es fácil de encontrar en los numerosos textos de Física General que existen, sin embargo,
aquí haré una presentación acompañada con gifs animados y con la menor cantidad de contenido matemático posible, facilitando así el entendimiento del tema, haciéndolo muy fácil de asimilar. En varias oportunidades obviaré cálculos intermedios, que el lector podrá completar después de la lectura del presente contenido. |
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El movimiento oscilatorio o vibratorio, mis estimados amigos Hive-Lectores, consiste en un movimiento repetitivo de un lado a otro realizado por un cuerpo alrededor de a una posición de equilibrio , que es el punto donde se anula la sumatoria de las fuerzas actuantes sobre el cuerpo (y además se anula el torque resultante, si éste está presente). Es este tipo de movimiento, un **Ciclo** u **Oscilación Completa** consiste en el recorrido realizado en ir de una posición extrema a la otra y luego volver a la primera, pasando dos veces por la posición de equilibrio. Al número de ciclos por unidad de tiempo se le denomina **Frecuencia** . A la distancia alcanzada con respecto al punto de equilibrio y en el justo momento en que el movimiento cambia de sentido se denomina **Amplitud** . Este tipo de movimiento puede ser muy simple hasta llegar a ser muy complejo.
La forma más simple de movimiento oscilatorio está representada por el movimiento, libre de fricción (o que ha sido neutralizada de alguna manera), de un cuerpo (considerado como una partícula, es decir, de dimensiones despreciables) que vibra u oscila atrás y adelante, sobre la misma trayectoria y donde cada vibración toma la misma cantidad de tiempo. |
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Este tipo particular de movimiento oscilatorio, mis estimados amigos Hive-Lectores, es el que describiré en el presente trabajo. A la cantidad de tiempo constante que emplea el cuerpo en realizar una oscilación completa se le denomina **Período** , por lo cual suele llamársele **Movimiento Periódico**. La distancia desde el punto de equilibrio hasta cada extremo de la trayectoria es la misma en todo momento, es decir, la amplitud se mantiene constante.
FIGURA 1: Movimiento oscilatorio periódico
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En la figura 1, mis amigos Hive-Lectores, les muestro una animación que representa el tipo de movimiento oscilatorio que mencioné antes. Se trata de un cuerpo (una partícula) de masa  que realiza un movimiento oscilatorio a lo largo del eje , alrededor de una posición de equilibrio  y entre los puntos  y . En caso de no existir fricción, como mencioné al principio, el movimiento no se detendría nunca y los puntos  y  estarían igualmente separados de . En caso de existir fricción (fuerza amortiguadora) el movimiento tendería a detenerse, mientras que las posiciones de  y  con respecto a  serían distintas y tenderían a anularse.
El movimiento que anteriormente les describí, es reproducible si consideramos aplicada sobre el cuerpo una fuerza dependiente de la posición dada mediante,
(1)
donde  es una constante positiva.
FIGURA 2: Sir Isaac Newton 1642 - 1727
Animación realizado por mi persona, @tsoldovieri, usando las aplicaciones Paint y PhotoScape. Las imágenes son: By George Frederick Chambers - Public Domain - Fuente, By John Vanderbank - Public Domain - Fuente & De attributed to 'English School' - Bonhams - Dominio público - Fuente
Al aplicar la **[Segunda Ley de Newton](https://www.ecured.cu/Segunda_Ley_de_Newton)**, debida al Matemático y Físico británico [Sir Isaac Newton](https://www.biografiasyvidas.com/monografia/newton/) (vean la figura 2), al **[Diagrama de Cuerpo Libre](https://www.lifeder.com/diagrama-cuerpo-libre/)** (DCL) de  (vean la figura 3) y después de pocos cálculos se obtiene fácilmente la ecuación diferencial de movimiento del cuerpo,
FIGURA 3: DCL del cuerpo de la figura 1 y el de la figura 5
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(2)
donde  y los dos puntos sobre la  indican segunda derivada total con respecto al tiempo , es decir, . La solución de esta ecuación diferencial es bastante sencilla, resultando dos soluciones que vienen dadas por,
(3)
Debido a que las anteriores soluciones están presentes las funciones armónicas seno y coseno, se dice que el cuerpo realiza un **MAS** y al sistema que les mostré en la figura 1 se le denomina **OSCILADOR ARMONICO SIMPLE**. La cantidad  se llama la **Fase del Movimiento** y la constante  se denomina **Constante de Fase o Fase Inicial**, que es un ángulo que será medido en radianes (rad). Más adelante, cuando les hable de la relación entre el MAS y el MCU, daré significado físico a  y a . Se debe tener presente que **Un Radián** (rad) es la medida del ángulo que sustenta un arco cuya longitud  es igual a su radio (vean la figura 4).
FIGURA 4: Definición de Radián.
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Diremos entonces, mis estimados amigos Hive-Lectores que, todo cuerpo cuya ecuación de movimiento venga dada por (2) realiza un MAS. |
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Este movimiento recibe también el nombre de **Oscilación Libre** y debido a la inexistencia de fricción es tal que, una vez iniciado, no cesa nunca (como mencioné antes) manteniéndose constante su energía (de la que les hablaré más adelante) una vez establecida su amplitud. Por supuesto, se trata de una simplificación del caso físico real en el que las fuerzas disipativas o de rozamiento acabarían por extinguir finalmente el movimiento, desapareciendo las oscilaciones.
Supongamos (vean la animación de la figura 5), por ejemplo, que tenemos un sistema mecánico formado por un resorte y un cuerpo de masa  (considerado como una partícula). El resorte está unido por su extremo izquierdo a un soporte fijo y por su extremo derecho al cuerpo, de tal manera que el cuerpo puede desplazarse sobre una superficie horizontal (el eje ) sin fricción.
FIGURA 5: Cuerpo unido a un resorte que, a su vez, está unido a un soporte fijo.
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Si hacemos que el cuerpo se desplace una pequeña cantidad  con respecto a su posición de equilibrio  (es decir, perturbamos el sistema), haciendo que el resorte se comprima o se estire, y después lo soltamos, se originará un MAS como les muestro en la figura 5. Lo anterior ocurre ya que los resortes responden a la denominada **[Ley de Hooke](https://es.khanacademy.org/science/physics/work-and-energy/hookes-law/a/what-is-hookes-law)**, debida al Físico y Astrónomo inglés [Robert Hook](https://www.biografiasyvidas.com/biografia/h/hooke.htm) 1660 (vean la figura 6) cuya expresión matemática es idéntica a (1). En este caso  representa la denominada **Constante de Elasticidad del Resorte**, la cual depende de las propiedades del material del que está construido el mismo. La fuerza  representa la denominada **Fuerza restauradora del Resorte**. Debe tenerse presente que para que la ley de Hooke sea válida, el desplazamiento  debe ser pequeño. El DCL es el mismo que les muestro en la figura 3.
FIGURA 6: Robert Hook 1635 - 1703
Autor desconocido - Dominio Público - Fuente
Veamos ahora, mis estimados amigos Hive lectores, el sistema que les muestro en la figura 7. Se trata de un **Péndulo Simple**, **Péndulo Ideal** o **Péndulo Matemático**, el cual es un sistema idealizado que consta de un cuerpo (considerado como una partícula) de masa  (denominada Masa Pendular) suspendida de un soporte fijo mediante una cuerda de longitud , indeformable y de masa despreciable. Inicialmente la cuerda y la masa están en reposo a lo largo del eje  (posición de equilibrio). Luego se perturba el sistema al desplazar la masa pendular de tal forma que la cuerda forme un pequeño ángulo  con el eje . Finalmente se suelta.
FIGURA 7: Péndulo Simple
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Si al anterior sistema se le aplica la Segunda Ley de Newton se obtiene, después de el análisis del diagrama de cuerpo libre de la masa pendular (vean la figura 8) y unos pocos cálculos, la ecuación diferencial de movimiento que viene dada por la expresión,
FIGURA 8: DCL de la masa pendular del Péndulo Simple de la figura 7. Aquí 29.jpg (https://images.hive.blog/DQmfUpFPTTmr2HKX7VVeDxrgQCcCuuHLdsrqPmuiQLfAEpg/29.jpg) es la longitud del arco recorrido, 30.jpg (https://images.hive.blog/DQmfXgwGBY89R4u1jk6Jth9hDj94tFwKhXwF8M3Dj3R5mwp/30.jpg) es la tensión de la cuerda, 31.jpg (https://images.hive.blog/DQmafZzHukEvdjtUdyvaPdvdRGhYYYgg6RFmKjDjyG4Jjub/31.jpg) el peso de la masa pendular y 32.jpg (https://images.hive.blog/DQmaTMYscYV4opY6KJWTEJLiB6YL4JiLjHBSZrYkB9kqbs2/32.jpg), 33.jpg (https://images.hive.blog/DQmdo3rT5cPcxcXJSfRX2cJnmHuQ7d3dRc6u463KHAXJpD8/33.jpg) sus componentes
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21.jpg (https://images.hive.blog/DQmZGM1XL3Vf9VzmawQ3bCPmUBjdzYLR95Qr85ihcVrFE1L/21.jpg)
(4)
donde 25.jpg (https://images.hive.blog/DQmbedFzxTNdwQLeQ6SVg4ecs8uFVonbEK9yRfgTMucisjb/25.jpg) es la aceleración debida a la gravedad y 23.jpg (https://images.hive.blog/DQmQS1LzxQMC4ygEo1XjeQWSb2pnrKwM79o1f9NpxVAgxGc/23.jpg) es el ángulo (en radianes) formado entre la cuerda y el eje 24.jpg (https://images.hive.blog/DQmXKvYrepAdRkraciYBSpzMUgrhLvnCX8yK9g8rhnVnw2d/24.jpg). Como 23.jpg (https://images.hive.blog/DQmQS1LzxQMC4ygEo1XjeQWSb2pnrKwM79o1f9NpxVAgxGc/23.jpg) es pequeño se tiene que 26.jpg (https://images.hive.blog/DQmTQJgUoWdKxT4NgDGaMoSCP7Cqi3cZaTiwKaMjBb5capY/26.jpg), por lo tanto (4) se convierte en,
27.jpg (https://images.hive.blog/DQmdb3qchkNkrkMWD7P46sGocFpuXVvaMZQF6XDWdxWmjaw/27.jpg)
(5)
Mis estimados Hive-Lectores, observen bien la anterior ecuación diferencial. Noten que es la misma ecuación (2), sólo que en este caso 5.jpg (https://images.hive.blog/DQmQb5owmM8uDD2LzL1VDudxuYowK4hKYzVosfZeJpLff6P/5.jpg) es 23.jpg (https://images.hive.blog/DQmQS1LzxQMC4ygEo1XjeQWSb2pnrKwM79o1f9NpxVAgxGc/23.jpg) y 28.jpg (https://images.hive.blog/DQmRLiVFUkYxDNLRAMC5JAU4Fpq6czjAhvKkeZMcRhj8S16/28.jpg). Por lo tanto, la masa pendular realiza un MAS.
fig9.gif (https://images.hive.blog/DQmcc5TXHq2AYv977QdJo9FySMkfcDtgEY9R6hSMVLfkWnY/fig9.gif)
FIGURA 9: Péndulo Físico o Péndulo Compuesto
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Finalmente, mis amigos Hive-Lectores, consideremos el sistema que les muestro en la figura 9. Se trata de un **Péndulo Físico** o **Péndulo Compuesto** que es cualquier cuerpo rígido (es decir, no es considerado como una partícula), de forma arbitraria y de masa 4.jpg (https://images.hive.blog/DQmeYm5p9sTJYQg5DzC7qiWStw5gu729qnV4vQuzNpAfbyR/4.jpg), que puede oscilar libremente bajo la acción de su propio peso alrededor de un eje horizontal fijo (eje de giro), el cual pasa por un punto del cuerpo que no es su centro de masa. Debe tenerse presente que un **Cuerpo Rígido** o **Sólido Rígido** es aquel cuya forma no varía pese a ser sometido a la acción de fuerzas externas, lo cual supone que la distancia entre las diferentes partículas que lo conforman resulta invariable al transcurrir el tiempo.
fig10.jpg (https://images.hive.blog/DQmeBcWmmJUuezzfxiULpcQUyniGL3Dr9Xbq6GJ33mCNDhn/fig10.jpg)
FIGURA 9: Péndulo Físico o Péndulo Compuesto - Diagrama
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En la figura 10, mis amigos Hive-Lectores, les muestro el cuerpo irregular de la figura 9 en un instante dado de su movimiento fuera de la posición de equilibrio. se muestra un cuerpo irregular en esta situación. El peso 31.jpg (https://images.hive.blog/DQmafZzHukEvdjtUdyvaPdvdRGhYYYgg6RFmKjDjyG4Jjub/31.jpg) crea un torque restaurador 34.jpg (https://images.hive.blog/DQmedT3zjiznkCorA7eHpvP6sM1iaySEAGBb41dXCwrSdMa/34.jpg) con respecto al punto de suspensión 6.jpg (https://images.hive.blog/DQmPzhPBGEM4w9XQ2dd4jVkvqxvtmSd41cUCDPAtNFPMM1N/6.jpg) (por donde pasa el eje de giro) dado por,
35.jpg (https://images.hive.blog/DQmSCi5ijgVgcS8WE6adg5VXt6kuoqehyZFmAmTLDJAro1T/35.jpg)
(6)
donde 36.jpg (https://images.hive.blog/DQmR3mbPzCZnAb814KYAHWmNprak8oAeDUwFxto1jrWpZUa/36.jpg) es la posición del Centro de Masa 37.jpg (https://images.hive.blog/DQmeaTv2A4SkWrTRhhbv3tcjhZBjMePdudnC3WV1yPEbT6W/37.jpg) con respecto al punto de giro situado en ![6.jpg](https://ima